Rumus Waktu Paruh, Contoh Soal dan Penyelesaiannya

Posted on

Sebelumnya, kita telah telah membahas tentang pengertian reaksi nuklir, pengertian bahan radioaktif hingga penurunan rumus waktu paruh. Kali ini kita akan kembali membahas tentang rumus waktu paruh dilengkapi dengan contoh soal waktu paruh dan penyelesaiannya. Simak pebahasanku di bawah ini:

Rumus Waktu Paruh

Rumus Waktu Paruh dan Contoh Soal
Rumus Waktu Paruh dan Contoh Soal

Silahkan baca materi sebelumnya:
1. Pengertian Bahan Radioaktif 
2. Penurunan Rumus Waktu Paruh

Sesuai pengertiannya, waktu paruh ialah waktu yang dibutuhkan suatu isotop radioaktif unsur untuk meluruh hingga setengahnya (dari jumlah sampel). Sesuai pembahasan penurunan rumus waktu paruh yang sudah kita lakukan sebelumnya, maka diperoleh persamaan:

$$T_{1/2} = \frac{\ln (2)}{\lambda}, atau; \lambda=\frac{\ln(2)}{T_{1/2}}$$

Dan persamaan orde pertama dari jumlah radioaktif $(N)$ dan waktu $(t)$, yaitu;

$$N_{(t)} = N_0e^{-\lambda t}, atau; \frac{N_{(t)}}{N_0} = e^{-\lambda t} $$

dengan;
$T_{1/2}=$ waktu paruh
$\lambda=$ konstanta peluruhan
$N_{(t)}=$ jumlah inti radio aktif  (pada saat $t$)
$N_0=$ jumlah inti radioaktif sebelum peluruhan

Dengan empat rumus ini, kita bisa menyelesaikan beberapa persolaan mengenai waktu paruh.

 

Contoh Soal Waktu Paruh dan Penyelesaianya

Berikut ini beberapa contoh soal peluruhan radioaktif dan pembahasannya yang sangat umum ditemui pada soal-soal anak SMA dan kuliahan:

1. Penggunaan Taknesium-99 dalam Kedokteran

Waktu paruh dari Taknesium $\ce{^{99}Tc}$ ialah 6 jam. Jika $12\:mg$ $\ce{^{99}Tc}$ disuntikkan pada pasien rumah sakit dan akan meluruh. Hitunglah jumlah $\ce{^{99}Tc}$ di dalam tubuh pasien setelah 24jam.


Pembahasan:

  • Pertama-tama, hitung konstanta peluruhan (λ) dengan menggunakan persamaan:
    $$λ=\dfrac{\ln 2}{t_{1/2}}=\dfrac{0,693}{6\:jam}=0,1155\:jam^{−1}$$
  • Kemudian hitung jumlah $\ce{^{99}Tc}$ di tubuh pasien setelah 24 jam dihitung menggunakan konstanta peluruhan ($λ=0,1155\:jam^{−1}$)yang telah diperoleh:
    $$N_{(t)} = N_0e^{-\lambda t}$$
    $$N_{(t)} = 12\:mg\:e^{-0,1155\:jam^{−1} 24\:jam}$$
    $$N_{(t)} = 0,750\:mg$$

 

2. Peluruhan Radon

Radon $\ce{^{222}_{86}Rn}$ memiliki waktu paruh 3,823 hari. Jika terdapat sampel $\ce{^{222}_{86}Rn}$ sebanyak $0,750\:g$ maka berapa lama waktu yang diperlukan agar radon meluruh dan tersisa $0,10\:g$?

Pembahasan

  • Pertama-tama, hitung konstanta peluruhan (λ) dengan menggunakan persamaan:
    $$λ=\dfrac{\ln 2}{t_{1/2}}=\dfrac{0,693}{3,823\:hari}=0,1812\:hari^{−1}$$
  • Kemudian hitung waktu yang diperlukan agar  $\ce{^{222}_{86}Rn}$ tersisa $0,10\:g$:
    $$t=−\dfrac{1}{λ}\ln\left(\dfrac{N_t}{N_0}\right)$$
    $$t=−\dfrac{1}{0.1812\: hari^{−1}}\ln\left(\dfrac{0.10\:g}{0,750\:g}\right)$$
    $$=11,12\ hari$$

 

3. Peluruhan Carbon-11

Waktu paruh $\ce {^{11}C}$ ialah 20 menit. Jika sebuah sampel memiliki kandungan 1000 inti $\ce {^{11}C}$, maka tentukan:

  1. Berapa inti $\ce {^{11}C}$  yang tersisa setelah 40 menit?
  2. Berapa yang tersisa setelah 60 menit?
  3. Kapankah waktu sehingga hanya tersisa 1 inti $\ce {^{11}C}$ saja?

Pembahasan:

  • Pertama-tama, hitung konstanta peluruhan dengan menggunakan persamaan;
    $$λ=\dfrac{\ln 2}{t_{1/2}}=\dfrac{0,693}{20\:menit}=0,03465\:menit^{−1}$$
  1. Kemudian untuk menghitung jumlah inti $\ce {^{11}C}$ yang tersisa setelah 40 menit, digunakan persamaan:
    $$N_{(t)} = N_0e^{-\lambda t}$$
    $$N_{(t)} = 1000\:inti\:e^{-0,03465\:menit^{−1} 40\:menit}$$
    $$N_{(t)} = 250,0\:inti$$
  2. Untuk menghitung jumlah inti $\ce {^{11}C}$ yang tersisa setelah 60 menit, digunakan persamaan:
    $$N_{(t)} = N_0e^{-\lambda t}$$
    $$N_{(t)} = 1000\:inti\:e^{-0,03465\:menit^{−1} 60\:menit}$$
    $$N_{(t)} = 125,0\:inti$$
  3. Untuk menghitung waktu yang diperlukan agar hanya tersisa 1 inti $\ce {^{11}C}$ ialah:
    $$t=−\dfrac{1}{λ}\ln\left(\dfrac{N_t}{N_0}\right)$$
    $$t=−\dfrac{1}{0.03465\: menit^{−1}}\ln\left(\dfrac{1\:inti}{1000\:inti}\right)$$
    $$=199,35 \:menit$$

 

4. Peluruhan Cobalt-60 Menjadi Nikel

$\ce {^{60}_{27}Co}$ meluruh dengan waktu paruh 5,27 tahun untuk menghasilkan $\ce {^{60}_{28}Ni}$. Tentukan:

  1. Konstanta peluruhan pada $\ce {^{60}_{27}Co}$
  2. Berapa gram jumlah $\ce {^{60}_{27}Co}$ yang tersisa setelah meluruh selama 15 tahun jika jumlah awalnya 60g?
  3. Berapa lama agar $\ce {^{60}_{27}Co}$ meluruh sehingga hanya 2.0% yang tersisa?

Pembahasan:

  1. Konstanta peluruhan dapat dihitung dengan persamaan:
    $$λ=\dfrac{\ln 2}{t_{1/2}}=\dfrac{0,693}{5.27\:tahun}=0.132\:tahun^{−1}$$
  2. Dengan menggunakan persamaan orde pertama peluruhan, bisa kita selesaikan:
    $$N_{(t)} = N_0e^{-\lambda t}$$
    $$N_{(t)} = 60\:g\:e^{-0,132\:tahun^{−1} 15\:tahun}$$
    $$N_{(t)} = 8,28\:g$$
  3. $2\%$ dari jumlah awal ialah $0.002\times N_0$. Maka dengan menggunakan metode substitusi dapat diperoleh:
    $$t=−\dfrac{1}{λ}\ln\left(\dfrac{N_t}{N_0}\right)$$
    $$t=−\dfrac{1}{0.132\:tahun^{−1}}\ln\left(\dfrac{0.0200×N_0}{N_0}\right)$$
    $$=29.6\: tahun$$

Ada masih banyak sekali soal-soal mengenai waktu paruh, tetapi 4 soal di atas mungkin sudah mewakili soal tentang rumus waktu paruh di level SMA. Di dalam ilmu terapannya dan di level perguruan tinggi ada sedikit variasi dalam memperoleh jumlah inti isotop radioaktif. Kita akan membahasnya di postingan berikutnya yaitu:  Cara Ilmuwan Menentukan Usia Benda Sejarah dan Artefak. 

Mengaku-ngaku sebagai penulis sejak 2013, tak satupun buku yang berhasil dituliskan. Amatir Garis Keras!

2 thoughts on “Rumus Waktu Paruh, Contoh Soal dan Penyelesaiannya

  1. Mas kalo ada waktu coba dong buat artikel tentang koding. Btw aku tau blog ini dari salah satu dosen kimia dasar di ub loh :v

    1. Dosen siapa yak? Hehe..

      Artikel ttg koding itu udah banyak bertebaran di Internet, makanya saya memilih untuk nggak menuliskannya. Tapi nanti kalau memang diperlukan pasti saya tulis kok. 🙂

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.